<T->
          Matemtica e realidade
          8 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Sexta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1067-0
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2010. 
          Rua Henrique Schaumann, 
          270 -- Pinheiros 
          05413-010 -- So Paulo -- SP 
          Fone: (11) 3613-3000 
          Fax: (11) 3611-3308 
          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                              I
<F->
Sumrio

Sexta Parte

Unidade 8 -- Equaes 
  e sistemas 
Captulo 20- 
  Equaes ::::::::::::::: 631
Produto igual a zero ::::: 632
Fatorao e resoluo de 
  equaes :::::::::::::::: 632
Aplicando fatorao :::::: 635
Resolvendo problemas ::::: 641
Equaes impossveis e 
  equaes 
  indeterminadas :::::::::: 653
Equao do 1 grau :::::: 657
Equao literal :::::::::: 659
Equao fracionria :::::: 665
Captulo 21- Sistemas de 
  equaes :::::::::::::::: 672
Problemas com duas 
  incgnitas :::::::::::::: 672
Mtodo da adio ::::::::: 675 
Preparando um sistema para 
  resolv-lo pelo mtodo 
  da adio ::::::::::::::: 677
<p>
Preparando coeficientes 
  nas duas equaes ::::::: 681
Mtodo da substituio ::: 685
Mtodo da comparao ::::: 687
Interpretao 
  geomtrica :::::::::::::: 692
Equao linear a duas 
  incgnitas :::::::::::::: 693
Representao geomtrica 
  de pares ordenados :::::: 699
Grfico da equao 
  ax+by=c ::::::::::::::::: 709
Sistema de duas equaes 
  lineares a duas 
  incgnitas :::::::::::::: 712
Sistemas impossveis e 
  sistemas 
  indeterminados :::::::::: 718
Matemtica no tempo -- 
  Coordenadas 
  cartesianas ::::::::::::: 736
<F+>
<245>
<T mat. realidade 8>
<t+631> 
<R+>
<F->
Unidade 8 -- Equaes e 
  sistemas 

Captulos: 
20- Equaes 
21- Sistemas de equaes 
<F+>
<R->
<246>

Captulo 20- Equaes 

O fator necessrio 

  Lusa escolheu dois nmeros, multiplicou-os e obteve resultado igual a zero. O que se pode afirmar a respeito dos nmeros que ela escolheu? 
  Se tivesse escolhido dois nmeros diferentes de zero, o produto no daria zero. 
  Para que o produto d zero,  necessrio que ao menos um dos fatores multiplicados seja o prprio zero. 
  Portanto, pelo menos um dos nmeros que Lusa escolheu foi o zero. 
<p>
Produto igual a zero 

  A multiplicao a.b s pode dar zero se tivermos a=0 ou b=0. Mais precisamente: 
<R+>
 a.b=0 se, e somente se, a=0 ou b=0 
<R->
   claro que podemos ter ambos os nmeros iguais a zero `(a=b=0`). Em Matemtica, o conectivo *ou* no  exclusivo. Quando dizemos a=0 ou b=0, pode ocorrer apenas a=0, ou apenas b=0, ou que a=b=0. 

Fatorao e resoluo de equaes 

  Vamos pensar em uma situao: 

<R+>
_`[{um professor pergunta para a turma: "Subtraindo 3 de um nmero e multiplicando o resultado por 10, o produto obtido  zero. Que nmero  esse?"_`]
<R->

  Para resolver essa questo, vamos recordar um tpico estudado no 7 ano. 
<247>
<p>
  Para calcular um nmero desconhecido (incgnita), o representamos por uma letra (por exemplo, *x*), montamos a equao a que esse nmero satisfaz e, depois, a resolvemos. 
  No exemplo anterior, temos: 
 nmero desconhecido :> x
 subtraindo 3 de x :> x-3 
 equao :> `(x-3`).10=0 
  No primeiro membro temos o nmero `(x-3`) multiplicado por 10. Como o resultado dessa multiplicao deve dar 0, pelo menos um dos nmeros multiplicados precisa ser igual a 0. Concluso: x-3=0. Logo, x=3. A resposta  o nmero 3. 
  Conferindo: `(3-3`).10=
 =0.10=0 
  Vejamos agora uma outra situao na qual podemos ter mais de uma soluo. 
<p>
<R+>
_`[{uma mulher preparando-se para fazer um bolo, fala: "Adicionando #;c a um nmero e multiplicando o resultado pelo prprio nmero, obtm-se zero... Que nmero  esse?"_`]
<R->

  Vamos montar a equao: 
<R+>
 nmero desconhecido :> x 
 adicionando #;c a x :> x+#;c
 equao :> `(x+#;c`).x=0
<R->
  Para dar produto zero, um dos fatores precisa ser igual a 0. Ento: 
 x+#;c=0 ou x=0
 x=-#;c ou x=0 
  O problema tem, portanto, duas solues: -#;c e 0. Observe: 
<R+>
 *x* pode ser -#;c porque `(-#;c+#;c`).`(-#;c`)=0.`(-#;c`)=0 
 *x* pode ser 0 porque `(0+#;c`).0=#;c.0=0 
<R->
  Resposta: O nmero  -#;c ou  0. 
<248>
<p>
Aplicando fatorao 

  Quando uma equao apresenta o segundo membro igual a zero e seu primeiro membro pode ser decomposto em produto, ento podemos resolv-la recaindo em equaes mais simples. 
  Vamos ver mais alguns exemplos: 

<R+>
_`[{um homem sentado num tapete, fala para duas crianas: "Subtraindo um nmero de seu quadrado, obtemos resultado zero. Qual  o nmero?" A criana que est sentada prximo a ele, levanta o dedo e fala: "Eu sei, eu sei!" A criana mais afastada, cruza os braos e fala: "Duvido! Sabe nada!"_`]

<F->
nmero desconhecido :> x 
subtraindo x de seu quadrado :> x2-x
equao :> x2-x=0
fatorando :> x`(x-1`)=0
<p>
igualando os fatores a zero :> x=
  =0 ou x-1=0
resolvendo :> x=0 ou x=1
<R->
<F+>
  Conferindo na equao: 02-
 -0=0-0=0 e 12-1=1-1=0. 
  Resposta: H duas solues: 0 e 1.

<R+>
_`[{uma criana maior fala para outra: "A soma do cubo de um nmero com o quadrado desse nmero  igual  soma do qudruplo desse nmero com o nmero 4. Qual  o nmero?" A outra criana responde: "Nmeros, nmeros, nmeros..."_`]
<R->

<F->
nmero desconhecido :> x 
cubo do nmero :> x3 
quadrado do nmero :> x2 
qudruplo do nmero :> 4x 
equao :> x3+x2=4x+4 
<F+>
  Transpomos todos os termos para o primeiro membro, ficando 0 no segundo membro: 
 x3+x2-4x-4=0
<p>
<R+>
 fatorando :> x2`(x+1`)-
  -4`(x+1`)=0; 
<R->
 `(x+1`)`(x2-4`)=0; 
 `(x+1`)`(x+2`)`(x-2`)=0. 
<R+>
 resolvendo :> x+1=0 ou x+2=0 ou x-2=0; x=-1 ou x=-2 ou x=2.
<R->
  Conferindo x=-1 na equao: `(-1`)3+`(-1`)2=-1+1=0 e 4`(-1`)+4=-4+4=0. 
  Confira as outras solues mentalmente. 
  Resposta: H trs solues: -1, -2 ou 2. 
<249>

Exerccios

<R+>
<F->
1. Calcule *x* em cada equao. 
a) 15`(x+2`)=0  
b) x`(x-4`)=0 
c) `(x+1`)`(2x-1`)=0 
d) 5x`(x-1`)`(x-2`)=0 

2. Somando o triplo de um nmero ao quadrado desse nmero, obtemos zero. Qual  o nmero? 
<p>
3. Qual  o nmero cuja quarta parte  igual ao seu quadrado?

4. Calcule *x* em cada equao. 
a) x2=4x 
b) 3x2=6x 
c) 2x2=5x 
d) 25x=4x2  
 
5. Somando 4 ao quadrado da idade de Jnior, obtemos o qudruplo da idade dele. Quantos anos tem Jnior? 

6. Resolva as equaes empregando fatorao. 
a) x2-10x+25=0
b) x3-5x2-4x+20=0

7. Adicionando 16  rea do quadrado a seguir, obtemos o dobro de seu permetro. Quanto medem os lados desse quadrado? 
<F+>
<R->
<p>
<F->
     x
  !::::::
  l      _
x l      _ x
  l      _
  l      _
  h::::::j
     x
<F+>

<R+>
<F->
8. Subtraindo 3 do dobro de um nmero e multiplicando o resultado pela metade daquele nmero, obtemos zero. Qual  o nmero? 
9. Que nmero  igual  metade de seu quadrado? 
10. Que nmero  igual ao qudruplo de seu cubo? 
11. A rea de um quadrado  numericamente igual ao triplo de seu permetro. Calcule a medida dos lados desse quadrado. 
12. No retngulo a seguir, a medida da base  o dobro da medida da altura. Adicionando 18  rea desse retngulo, obtemos o 
<p>
  dobro de seu permetro. Quanto mede a base do retngulo? 
<F+>
<R->

<F->
!::::::::::
l          _
l          _ x
l          _
h::::::::::j
    2x
<F+>

<R+>
<F->
13. O dia e o ms do aniversrio da Natasha so razes da equao x3-15x2-4x+60=0. Quando  o aniversrio dela? 
14. Ao perguntarem sobre sua idade, Juliana respondeu: " uma das razes da equao x3-13x2-2x+26=0". 
  Qual  a idade de Juliana? 
<F+>
<R->
<250>

A caminhada 

  Nlson e Marisa fazem caminhada pelo menos trs vezes por semana. 
<p>
  Caminhando 90 metros a cada minuto, Nlson chega ao final do percurso 7 minutos antes de Marisa, que caminha 80 metros a cada minuto. 
  Quantos metros eles percorrem? 

Resolvendo problemas 

  Problemas como esse podem ser resolvidos por meio de equaes. Recordemos a orientao dada no 7 ano: 
<R+>
<F->
1) Leia atentamente o problema. 
2) Estabelea qual  a incgnita. 
3) Escreva a condio sobre a incgnita (se deve ser nmero natural, ou inteiro, ou positivo, etc.). 
4) Monte uma equao, traduzindo os dados do problema em linguagem matemtica. 
5) Resolva a equao. 
6) Verifique se a raiz encontrada obedece  condio estabelecida na etapa 3). 
<F+>
<R->
<p>
  Depois de ler atentamente o problema anterior -- 1), estabelecemos que: 
<R+>
 2) *x*  o nmero procurado: percurso, em metros. 
 3) *x* deve ser um nmero positivo. 
<R->
  Para montar uma equao, analisemos os dados do problema 4): 
<R+>
 Eles caminham pelo menos trs vezes por semana: esse dado  irrelevante para o clculo do tamanho do percurso. 
<R->
  Os demais dados referem-se ao tempo gasto no percurso. Vejamos o tempo de cada um: 
<R+>
 Nlson caminha 90 metros a cada minuto: para percorrer os *x* metros do percurso ele gasta x~90=''' minutos. 
 Marisa caminha 80 metros a cada minuto: para percorrer os *x* metros, leva x~80=''' minutos. 
<p>
 Nlson termina o percurso 7 minutos antes de Marisa. 
  Ento, o tempo de Marisa  o tempo de Nlson mais 7 minutos: 
<R->
 x~80=x~90+7
<251>
  Agora precisamos resolver a equao para descobrir a raiz. A raiz (ou soluo)  o nmero que, colocado no lugar da incgnita, transforma a equao em sentena verdadeira. Para achar a raiz, podemos aplicar as seguintes operaes elementares sobre a equao: 
<R+>
 Adicionamos um mesmo nmero aos dois membros. 
 Multiplicamos os dois membros por um mesmo nmero, diferente de zero. 
<R->
  Ento, vamos resolver x~80=
 =x~90+7.
<R+>
1 passo: Eliminamos os denominadores. Para isso, multiplicamos os dois membros por 720 
<p>
  (que  mltiplo comum de 80 e 90):
<R->
 720.x~80=720.x~90+720.#g
 9x=8x+5.040 
<R+>
 2 passo: Adicionamos -8x aos dois membros da equao, isolando *x*: 
<R->
 9x-8x=8x+5.040-8x 
 x=5.040 
  O nmero encontrado, 5.040,  positivo. Ento, a medida do percurso  5.040 metros. 
  Vale ainda lembrar que voc sempre pode conferir se acertou os clculos ao resolver uma equao:  s testar se o nmero encontrado  realmente raiz da equao. Para isso, coloque-o no lugar do *x*, e veja se a sentena continua verdadeira: 
 5.040~80=5.040~90+7 
 63=56+7 (verdadeiro) 

Exerccios

<R+>
<F->
15. Os candidatos a um emprego compareceram para um teste e foram divididos em trs turmas: na 
<p>
  primeira havia #;c deles; na segunda, #,d; e na terceira, os demais 15 candidatos. Ao todo, quantos eram os candidatos? 
16. Uma empreiteira pavimentou #;e de uma rodovia, e outra, os 84 km restantes. Qual a extenso dessa rodovia? 

17. Fbio e Leonardo so jovens, amigos, trabalham juntos e recebem salrios iguais. 
  No final de um ms, Fbio havia gastado #=h do seu salrio, e Leonardo, #*aj do dele. Um dos rapazes terminou o ms com R$16,00 a mais que o outro. 
a) Quem terminou o ms com mais dinheiro? 
b) Qual  o salrio deles? 
<252>

18. Numa cidade, uma corrida de txi custa R$4,00 mais a quantia de R$0,75 por quilmetro rodado. 
a) Quanto custa uma corrida de *x* quilmetros?  
<p>
b) Quantos quilmetros tem uma corrida que custa R$10,00?

19. Para produzir certo artigo, uma fbrica tem um custo de R$2.500,00 fixos mais um acrscimo de R$2,50 por unidade produzida. 
a) Qual  o custo total para produzir *x* unidades?  
b) Gastando R$10.000,00, quantas unidades so produzidas?  

20. Do salrio de Jos Ricardo so descontados 9% de INSS, e ele fica com R$718,90. Qual  o salrio dele? 
  Recordando: 9%=#*ajj
21. Uma empresa aumentou em 10% os salrios de todos os seus funcionrios e ainda deu uma bonificao de R$50,00 para cada um. No salrio de Lus Carlos, isso significou um aumento de 20% de um ms para o outro. Qual  o novo salrio dele? 
<p>
22. O tanque de um carro contm 42 litros de gasolina, atingindo 75% de sua capacidade. Quantos litros ainda cabem? 
23. Neste ms, Pedro Antnio acabou atrasando um pouco o pagamento do aluguel de sua casa. Por isso, teve de pagar R$594,00, j includos os 10% da multa pelo atraso. Qual  o valor do aluguel?  
24. Um vendedor ganha por ms R$400,00 fixos mais uma comisso de 2% sobre o total de suas vendas no ms. Para ganhar R$1.200,00 num ms, quanto ele precisa vender?  
25. Tendo sido contratado um novo funcionrio com salrio de R$720,00, o salrio mdio dos empregados de um escritrio passou de R$900,00 para R$880,00. Quantos funcionrios havia antes da nova contratao?  
<p>
26. Uma empresa tinha 35 empregados e pagava, em mdia, R$800,00 a cada um. Aps contratar novos funcionrios com salrio de R$575,00 cada um, a mdia de pagamento dos funcionrios caiu para R$750,00. Quantos funcionrios ela contratou? 
27. Jos Lus, de 54 anos, tem quatro filhos. A soma das idades dos filhos  39 anos. Daqui a quantos anos a soma das idades dos filhos ser igual  idade do pai? 
28. Wellington, de 42 anos,  pai de Mariana, de 12 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai ser o dobro da idade da filha? 
29. Lendo 20 pginas por dia, Samantha terminou um livro levando cinco dias a mais que Fafinha, que lia 28 pginas por dia. Quantas pginas tem o livro? 
<253>
<p>
30. Num clube h duas piscinas de mesmo tamanho e profundidade. Uma das piscinas  enchida  razo de 12 litros de gua por minuto, levando 4 horas a mais do que a outra, que recebe 15 litros por minuto para ficar totalmente cheia. Qual  o volume de cada piscina?  
31. Aline, Clarice e Mnica foram candidatas a Rainha da Primavera. Aline obteve o dobro dos votos de Clarice, que teve 18 votos mais que Mnica. Foram 214 os votantes e 20 votos anulados. D a classificao final e o nmero de votos de cada candidata.  
32. Nestes trs retngulos, a altura  uma vez e meia a base. Quanto deve medir a base 
<p>
  para que um retngulo desses tenha permetro de 20 cm? 
<F+>
<R->

<F->
              !:::::::
              l       _
      !::::: l       _
      l     _ l       _
!::: l     _ l       _
l   _ l     _ l       _
l   _ l     _ l       _ 
l   _ l     _ l       _
h:::j h:::::j h:::::::j
<F+>


<R+>
33. De uma cartolina retangular de largura 40 cm, cortamos em cada canto um quadrado de lado 10 cm. Em seguida, dobramos as abas, formando uma caixa sem tampa. Para que a caixa tenha volume de 8.000 cm3, qual deve ser o comprimento da cartolina?  
<R->
<p>
<F->
aaaapccccccccccccccc^^^^ c
a   l               _   ^ _
a   l               _   ^ _
pccca^^^^^^^^^^^^^^^^ccc _
l   a               ^   _ _ 40 cm
l   a               ^   _ _
l   a               ^   _ _
l   a               ^   _ _
l   a               ^   _ _
v---k'''''''''''''''{---# _
'   l               _    _
'   l               _    _
''''v---------------# #-
10 cm
<F+>

  Observe com ateno o exemplo a 
 seguir: 
 ?x+2*~5-?10-3x*~2=x+3~4
  mltiplo comum de 5, 2 e 
  4 :> 20
 20.?x+2*~5-20.?10-3x*~2=
  =20.x+20.3~4 
 4`(x+2`)-10`(10-3x`)=20x+5.3 
 4x+8-100+30x=20x+15 
 4x+30x-20x=15-8+100 
 14x=107 
 x=107~14
<p>
34. Agora, resolva as equaes. 
 ?x-1*~2+?x+2*~3=6; 
  ?x+2*~2-?x+4*~4+
  +?x+8*~8=1. 
<254>

Desafios 

Coloque as etiquetas 

  Um recipiente (no transparente) contm s bolas verdes, outro, s bolas azuis, e um outro contm bolas verdes e azuis. Entretanto, as etiquetas foram colocadas erroneamente em todos eles. 
  Retirando apenas uma bola de um dos recipientes,  possvel corrigir o engano e recolocar cada etiqueta no recipiente correto. De que recipiente deve ser retirada a bola? Como devem ser recolocadas as etiquetas? 

<R+>
_`[{uma pessoa observa trs recipientes colocados lado a lado e etiquetados da esquerda para a direita, que se l: azul, verde e misto_`]
<R->
<p>
S descobre se souber equacionar 

<R+>
_`[{uma menina pergunta: "Professora, quantos anos a senhora tem?" A professora responde: "Tenho o sxtuplo da idade que voc tinha quando eu tinha seus 14 anos de hoje. Ento, quantos anos eu tenho, Marina?"_`]
<R->

Equaes impossveis e equaes 
  indeterminadas 

  Existem equaes que no tm soluo. Outras tm infinitas solues. Veja os exemplos a seguir. 
<255>

<R+>
_`[Artur fala: "Raul, adicionando 6 ao triplo de um nmero inteiro, o resultado  a soma desse nmero com o dobro do sucessor dele. Que nmero  esse?"_`]

 nmero desconhecido :> x (deve ser inteiro) 
 triplo do nmero :> 3x
<p>
 adicionando 6 ao triplo do nmero :> 3x+6 
 sucessor do nmero :> x+1 
 dobro do sucessor :> 2`(x+1`) 
 soma do nmero com o dobro do sucessor :> x+2`(x+1`) 
 equao :> 3x+6=x+2`(x+1`) 
  Resoluo: 
 3x+6=x+2x+2 
 3x-x-2x=2-6 
 0x=-4 
<R->
  Essa equao no possui raiz, pois no existe nmero que multiplicado por 0 d -4. Nesse caso, dizemos que a equao  impossvel. 
  Raul deve responder, ento, que o nmero no existe. 
  Agora, veja o enigma que Raul props a Artur: 

<R+>
_`[Raul fala: "T, Artur, agora sou eu. Adicionando 1 ao dobro de um nmero inteiro, o resultado  a soma desse nmero com o sucessor dele. Que nmero  esse?"_`]
<p>
nmero desconhecido :> x (deve ser inteiro) 
 equao :> 2x+1=x+`(x+1) 
  Resoluo: 
 2x+1=x+x+1 
 2x-x-x=1-1 
 0x=0 
<R->
<256>
  Essa equao possui uma infinidade de razes, pois todo nmero multiplicado por 0 d 0. Dizemos que a equao  indeterminada. 
  Artur deve responder que o nmero pode ser qualquer inteiro. 

  Uma equao com uma incgnita  impossvel quando no possui raiz. 
  Uma equao com uma incgnita  indeterminada quando possui uma infinidade de razes. 
<p>
Exerccios

35. Observe a tabela: 

<R+>
_`[{tabela adaptada, contedo a seguir_`]
<F->
Coluna A: 3x=5
Coluna B: 2x=0
Coluna C: 0x=2
Coluna D: 0x=0
Coluna E: x~2=x~3
Coluna F: x+1=1+x

a) Quais dessas equaes so impossveis?  
b) Quais dessas equaes so indeterminadas?  

36. Resolva as equaes a seguir. 
a) x+1=x+2 
b) 2x+1=x+1 
c) 5x+1=4`(x+1`)+x 
d) x-1=1-x
e) ?2x+1*~4-x=3~4-
  -?x+1*~2 
<p>
37. Vamos resolver: 
a) 2x+5=5+2x 
b) 2x-1=-`(1-2x`) 
c) 3`(x+2`)=2`(x+4`)+x-4 
d) ?x+1*~2+?2x+1*~3=1-
  -?1-x*~6

38. Para que nmero inteiro o dobro de seu sucessor  igual ao sucessor de seu dobro? 
39. Que nmero adicionado aos seus trs quartos d o seu dobro subtrado de sua quarta parte? 
<F+>
<R->

Equao do 1 grau 

  Ao resolver uma equao com uma incgnita, procuramos deixar os termos que contm a incgnita no primeiro membro e os demais termos no segundo membro. Quando chegamos a uma equao da forma 
ax=b em que *a* e *b* so nmeros reais conhecidos, e a=0, dizemos que se trata de uma equao do 1 grau. 
<p>
  Por exemplo, so equaes do 1 grau: 

<F->
 !::::::::::::::::::::::::
 l ax=b     _ a     _ b     _
 r::::::::::w:::::::w:::::::w
 l 2x=8   _ 2    _ 8    _
 r::::::::::w:::::::w:::::::w
 l -2x=17 _-2    _ 17   _
 r::::::::::w:::::::w:::::::w
 l x=-7~3_ 1    _-7~3_
 r::::::::::w:::::::w:::::::w
 l x~2=0 _ 1~2_ 0    _
 h::::::::::j:::::::j:::::::j
<F+>
<257>

  Na equao ax=b, temos: 
 *x*  a incgnita; 
 *a*  o coeficiente; 
 *b*  o termo independente; 
 sendo a=0, a raiz  b~a. 

  Uma equao com uma incgnita *x*  denominada equao do 1 grau se puder ser reduzida, por meio de operaes elementares,  forma a.x=b, em que *a* e *b* so nmeros reais e a=0. 
<p>
  Observe que, se a=0, a equao fica 0x=b (no  equao do 1 grau). Nesse caso, se b=0, a equao  impossvel e se b=0, a equao  indeterminada. 

Equao literal 

  Observe estas equaes na incgnita *x*: 
 2x=5; 3x+1=-19; 7x+2=
  =5x-7. 
<R+>
 S uma letra aparece nessas equaes: *x*. 
 Os termos que contm *x* so: 
<R->
2x, 3x, 7x e 5x. 
<R+>
 Os coeficientes de *x* so nmeros: 
<R->
2, 3, 7 e 5. 
<R+>
 Os termos que no contm *x* tambm so nmeros: 
<R->
5, 1, -19, 2 e -7. 
  Podemos, entretanto, formar equaes na incgnita *x* em que alguns coeficientes de *x* ou 
<p>
alguns termos que no contm *x* so indicados por letras denominadas parmetros. Veja: 
<F->
<R+>
ax=b: x= incgnita; ab= parmetros.
`(a-1`)x=a: x= incgnita; aa= parmetros.
mx-2x=n: xx= incgnitas; mn= parmetros.
<R->
<F+>

  Uma equao na incgnita *x* que contm coeficientes ou termos indicados por outras letras  uma equao literal. 

  Vamos considerar agora a equao literal de incgnita *x*: 
`(a-1)x=a 
<R+>
 Se a=3, temos a equao 2x=3, e a raiz  3~2. 
 Se a=2, temos a equao x=2, e a raiz  2. 
 Se a=1, temos a equao 0x=1, que no tem raiz (equao impossvel). 
 Se a=-1, temos a equao -2x=-1, cuja raiz  1~2.
<R->
<258>
<p>
  Notamos que a raiz depende do valor atribudo ao parmetro *a*. 
  Em vez de resolver a equao para cada valor atribudo a *a*, podemos resolv-la imaginando que *a*  um nmero conhecido e aplicando as tcnicas de clculo vistas para equaes no literais. Veja: 
 `(a-1`).x=a 
  Multiplicando ambos os membros por 1~?a-1*, supondo a=1, vem:
 1~?a-1*.`(a-1).x=
  =1~?a-1*.a
  Da: 
 x=a~?a-1*`(a=1`) 
  Dizemos que essa  a soluo geral da equao. Note que ela s  vlida se a=1, isto , sua condio de validade  a=1. 

<R+>
_`[{um menino fala: "Pense e responda: por que  preciso colocar 
  a=1? Como fica a equao se a=1?"_`]
<R->
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
40. Dada a equao `(a+1)x=2: 
a) resolva-a no caso a=1;
b) resolva-a no caso a=-1; 
c) determine a sua soluo geral. 

41. Determine a soluo geral de cada equao em *x*. 
a) x-a=b-x 
b) x+m=-m-x 
c) a-2x=2x-a 

42. Observe a resoluo exemplificada a seguir e depois resolva as equaes em *x*. 
<F+>
<R->
 mx-2m=m-x
 mx+x=m+2m
 `(m+1`)x=3m 
 x=3m~?m+1*, se m=-1 
<F->
a) ax+5a=3x+3a 
b) a`(x+3`)=3`(x-a`)

<R+>
43. Dada a equao, na incgnita *x*, `(a-2`)x=2b-1: 
a) sob que condies  uma equao indeterminada?  
<p>
b) sob que condies ela  impossvel?  
c) sob que condio ela  uma equao do 1 grau em *x*? Nesse caso, qual  a raiz? 

44. Determine a soluo geral para cada uma das equaes literais a seguir cuja incgnita  *x*. No se esquea de escrever a condio de validade: 
a) 2x=m 
b) ax=2 
c) `(m-1`)x=1
d) px+3=x+4
<259> 

45. Dada a equao mx+1=2x+m na incgnita *x*, responda: 
a) Qual  a raiz no caso m=1.002? 
b) Se a raiz  2, qual  o valor de *m*? 
c) Se a raiz  1.001, qual  o valor de *m*? 
<R->
<F+>
<p>
O problema do tempo de trabalho 
  conjunto 

  Uma grfica precisa imprimir um grande nmero de folhetos de propaganda. 
  Usando a melhor impressora que ela tem, levaria 8 horas para completar o servio. Com outra impressora, mais lenta, levaria 12 horas. 
  Utilizando as duas impressoras, em quanto tempo o servio ficar pronto? 
  Problemas como esse so resolvidos por meio de uma equao que montamos levando em conta o quanto cada mquina produz por hora isoladamente e o quanto elas produzem por hora trabalhando em conjunto: 
<R+>
 A primeira mquina sozinha leva 8 horas. Em 1 hora, faz 1~8 do servio. 
 A segunda mquina sozinha leva 12 horas. Em 1 hora, faz 1~12 do servio. 
<p>
 As duas juntas levam *t* horas. Em 1 hora, fazem 1~t do servio. 
 Somando o que cada uma faz sozinha em 1 hora, obtemos o que elas fazem juntas. Logo: 
<R->
 1~8+1~12=1~t
  A incgnita *t* representa um nmero positivo. 
  Resoluo: 
 ?3+2*~24=1~t 
 5~24=1~t
 5t=24
 t=24~5 
  Como 24~5=4#d~5, as duas impressoras juntas completam o servio em 4 horas e 4~5 de hora, ou seja, em 4 horas e 48 minutos. 
<260>

Equao fracionria 

  Na resoluo do problema anterior montamos uma equao em que 
<p>
aparece a frao algbrica 1~t. Ela  um exemplo de equao fracionria. 

  Equao fracionria  uma equao em que pelo menos um dos termos  uma frao algbrica. 

  Ao resolver uma equao fracionria, devemos prestar ateno s condies de validade das operaes nela indicadas. Como no existe diviso por zero, os denominadores precisam ser diferentes de zero. Assim, o primeiro passo na resoluo de uma dessas equaes  estabelecer as condies de validade; o ltimo  verificar se a raiz encontrada satisfaz essas condies. 
  Para exemplificar, vamos resolver a equao 1~x+2x~?x-1*=
 =2.
 1 passo: Condies de validade 
 x=0 e x-1=0 (logo, x=1) 
<R+>
 2 passo: Resoluo 
<R->
<p>
  Comeamos multiplicando todos os termos por uma mesma expresso, a fim de eliminar os denominadores. 
 x`(x-1`).1~x+x`(x-1`).
  .2x~?x-1*=x`(x-1`).2 
 `(x-1`)+x.2x=2x`(x-1`)
 x-1+2x2=2x2-2x
 x+2x2-2x2+2x=1
 3x=1
 x=1~3
<R+>
3 passo: Verificao das condies de validade 
<R->
 1~3=0 e 1~3=1
  Logo, a raiz da equao  1~3, isto , x=1~3. 

  Voc pode conferir se acertou o clculo.

Exerccios

<R+>
<F->
46. Um supermercado recebeu uma grande quantidade de latas de leo que precisa colocar nas 
<p>
  prateleiras. Uma empilhadeira sozinha levaria 2 horas para completar o servio, enquanto outra, menor, levaria 4 horas. Utilizando ambas as empilhadeiras, em quanto tempo as latas estaro acomodadas nas prateleiras? 
<261>
47. Para encher a piscina de um clube, abrem-se duas torneiras e so necessrias 6 horas. Uma das torneiras, sozinha, encheria a piscina em 10 horas. Em quanto tempo a outra torneira, sozinha, faria o servio? 

48. Resolva as seguintes equaes: 
a) ?x+5*~x=7~4
b) ?x+1*~?x-2*=?x-1*~?x+2*
c) 5~?x+2*-1~?x-2*=
  =x~?x2-4*
d) 3~x+1~?x-1*=
  =?-3x+4*~?x2-x*
<p>
49. Resolva as equaes fracionrias: 
a) ?2x+7*~x=1
b) 3~x+1~2=5~2x
c) 1~?x+2*=2~?x-3*
d) 2~?x-1*+3=1~?x-1*
e) 1~?x+4*+1~?x-4*=
  =8~?16-x2*
<F+>
<R->

Desafios 

Mdia harmnica 

  Mdia harmnica  o inverso da mdia aritmtica dos inversos dos nmeros dados. 
<R+>
<F->
a) Sendo *a*, *b* e *c* nmeros positivos, quais so os seus inversos?  
b) Qual  a mdia aritmtica dos inversos? 
c) Qual  a mdia harmnica de *a*, *b* e *c*?  
<p>
d) Se a=6, b=10 e c=15, qual  a mdia harmnica de *a*, *b* e *c*?  
e) Se a=10 e b=14, qual  o valor de *c* para que a mdia harmnica de *a*, *b* e *c* seja igual a 15? 
<F+>
<R->

Em velocidade 

  Numa viagem de 800 km levei 4 horas para chegar  metade do percurso e mais 5 horas para chegar ao final. Foram ento 800 km em 9 h, dando uma velocidade mdia de 800~9 quilmetros por hora (aproximadamente 89 km/h). 
<R+>
<F->
a) Qual foi a velocidade mdia na primeira metade da viagem? 
b) E na segunda metade? 
c) Qual  a mdia harmnica das velocidades dos itens a) e b)? 
<F+>
<R->

Harmonia do cubo 

  Pense em um cubo. Pense no seu nmero de faces, nmero de arestas e de vrtices. Um deles  a mdia harmnica dos outros dois. Qual deles? 

               ::::::::::::::::::::::::
<262>
<p>
Captulo 21- Sistemas de 
  equaes 

A festa de Lucas 

  Las  a me de Lucas. Para ajudar a organizar a festa de aniversrio dele, ela chamou sua amiga Laura. 
  Las notou que se colocasse 3 cadeiras em cada mesa sobrariam 14 das cadeiras disponveis, mas se colocasse 4 em cada mesa faltariam 8 cadeiras para preencher todos os lugares. 
  Depois, Laura ficou se perguntando: quantas eram as mesas e quantas as cadeiras? 

Problemas com duas incgnitas 

  No problema anterior temos duas incgnitas: 
 x= nmero de mesas 
 y= nmero de cadeiras 
<p>
  Como se trata de mesas e cadeiras, *x* e *y* devem ser nmeros inteiros positivos. 
  Para resolver, precisamos montar duas equaes: 
<R+>
 Colocando 3 cadeiras em cada mesa, sobram 14 cadeiras. Como h *x* mesas e 3 cadeiras em cada uma, ficam 3.x cadeiras colocadas mais 14 sobrando. Como *y*  o total de cadeiras, temos: 
<R->
 y=3x+14 
  Deixando os termos com incgnitas no primeiro membro e os demais no segundo membro, temos: 
 -3x+y=14 `(1`) 
<R+>
 Colocando 4 cadeiras em cada mesa, faltariam 8 cadeiras para preencher todos os lugares. Como h *x* mesas, com 4 lugares em cada uma, so 4.x lugares. Temos *y* cadeiras e faltam 8 para preencher todos os 4x lugares; logo: 
<R->
 4x=y+8 
<p>
  Deixando os termos com incgnitas no primeiro membro, temos: 
 4x-y=8 `(2`) 
<263>
  Com as equaes `(1`) e `(2`) formamos um sistema de equaes, em que a chave substitui a conjuno *e* _`[no sistema comum de escrita, porm no Sistema Braille a conjuno permanece_`]:
 -3x+y=14 e 4x-y=8 
  Para calcular as incgnitas, podemos adicionar as equaes membro a membro: 

<F->
-3x+y=14
+ 4x-y=8
--------------
     x=22 ou x=22
<F+>

  Achamos x=22; agora podemos calcular *y* na primeira equao: 
 y=14+3x=14+3.(22)=14+66= 
  =80 :> y=80 
  Portanto, so 22 mesas e 80 cadeiras. 
<p>
  Obtido o valor de *x*, poderamos calcular *y* tambm na segunda equao: 
 4x-y=8 :> 4.(22)-y=8 
  :> 88-y=8 :> y=80 

Mtodo da adio 

  Resolvemos o sistema do problema anterior adicionando membro a membro as duas equaes. Esse modo de resolver  chamado mtodo da adio. Esse mtodo  o mais adequado quando o coeficiente de uma das incgnitas na primeira equao  o oposto (simtrico) do coeficiente da mesma incgnita na segunda equao, pois, somando as equaes, eliminamos uma incgnita. Observe a seguir que *y* tem coeficientes opostos nas duas equaes. Somando as equaes, eliminamos *y*: 
 -3x+y=14 e 4x-y=8 
  Existem outros mtodos para resolver um sistema de equaes. No 
<p>
7 ano estudamos o mtodo da substituio e o da comparao, que recordaremos adiante. 

Exerccios
<R+>
<F->

  Nos exerccios 50 a 52 estabelea as incgnitas, monte um sistema de equaes e resolva-o. 

50. Dois nmeros tm soma 111 e diferena 33. Quais so eles?  
51. Numa classe h 32 alunos. Subtraindo o nmero de meninas do dobro do nmero de meninos o resultado  7. Quantos so os meninos? E as meninas? 
52. Num restaurante trabalham garons e garonetes. H duas garonetes a menos que o triplo do nmero de garons e dois garons a menos que a metade do nmero de garonetes. Quantos so os garons? E as garonetes?
<264>
<p>
53. Resolva os sistemas pelo mtodo da adio. 
a) x+2y=7 e 3x-2y=-11
b) 3x+5y=30 e 4x-5y=5
c) -2a+3b=0 e 2a+5b=16 
<F+>
<R->

<R+>
Preparando um sistema para 
  resolv-lo pelo mtodo da adio 
<R->

  Observe este exemplo: 
  Vamos resolver o sistema 
 4x+3y=6 e 2x+5y=-4 pelo mtodo da adio. 
  Observamos que os coeficientes de *x* (4 e 2) no so simtricos; os coeficientes de *y* (3 e 5) tambm no so simtricos. Ento, no adianta somar as equaes, pois nem o *x* nem o *y* sero cancelados. Vejamos, ento, que procedimentos podemos seguir para que uma das incgnitas possa ser cancelada. 
<R+>
1 passo: Preparamos o sistema, de modo que os coeficientes de uma das incgnitas fiquem simtricos. 
<R->
<p>
  Para conseguir que os coeficientes de *x* fiquem simtricos, multiplicamos a segunda equao por -2: 
 2x+5y=-4 
 -4x-10y=8
<R+>
2 passo: Somamos membro a membro as duas equaes: 
<R->

<F->
     4x+3y=6 
+`(-4x-10y`)=8
-----------------
       -7y=14
<F+>
<R+>

3 passo: Resolvemos a equao obtida e encontramos o valor de *y*: 
<F->
-7y=14 
7y=-14 
y=-14~7
y=-2 
4 passo: Substitumos o valor de *y* em uma das equaes iniciais e obtemos *x*: 
4x+3y=6 
4x+3`(-2)=6 
4x-6=6 
<p>
4x=6+6 
4x=12 
x=12~4
x=3
<R->
<F+>
  Para conferir os clculos basta substituir as incgnitas das equaes iniciais pelos valores encontrados. 
  Assim, se: 
 x=3 e y=-2 
<265>
  Temos: 
 na primeira equao: 
 4x+3y=6 :> 4`(3)+3`(-2)=6 
  :> 12-6=6 (verdadeiro) 
 na segunda equao: 
 2x+5y=-4 :> 2`(3)+5`(-2)=
  =-4 :> 6-10=-4 (verda-
  deiro) 

Exerccios
 
<R+>
<F->
54. Atenda ao que se pede nos itens a seguir: 
a) Explique como preparar um sistema de duas equaes com 
  duas incgnitas para ser resolvido pelo mtodo da adio. 
<p>
b) Resolva o sistema 4x+y=0 e 6x-3y=36.

55. Prepare os sistemas a seguir e resolva-os pelo mtodo da adio: 
a) 3a+2b=6 e 5a-b=10
b) 7x+6y=24 e 5x+2y=8
 
56. Na sua festa, Las precisava colocar 80 cadeiras em 22 mesas. Laura sugeriu que colocassem algumas mesas com 3 lugares e outras com 4 lugares, de modo que todas as cadeiras fossem utilizadas. Quantas mesas ficaram com 3 lugares? Quantas com 4 lugares? 
57. Num jogo de futebol amador beneficente o ingresso da arquibancada custava R$10,00, e o da cadeira numerada, R$30,00. Se 1.575 pessoas compareceram ao estdio e a renda foi de 
<p>
  R$26.950,00, quantos torcedores assistiram  partida da arquibancada? 
58. Determine a frao equivalente a 6~11 em que a soma do numerador com o denominador  102. 
<F+>

Preparando coeficientes nas duas equaes 
<R->

  Vamos agora resolver o sistema: 4x+3y=6 e 6x+5y=-4
<R+>
1 passo: Para conseguir que os coeficientes de *y* fiquem simtricos, multiplicamos a primeira equao por 5, que  o coeficiente de *y* na segunda equao: 
<R->
 4x+3y=6
 20x+15y=30
  A seguir multiplicamos a segunda equao por -3, que  o oposto do coeficiente de *y* na primeira equao: 
<p>
 6x+5y=-4 
 -18x-15y=12 
<266>
<R+>
2 passo: Somamos membro a membro as duas equaes: 

<R->
<F->
    20x+15y=30 
+`(-18x-15y`)=12
------------------ 
          2x=42 
<F+>

<R+>
3 passo: Resolvemos a equao obtida e encontramos o valor de *x*: 
<R->
 2x=42 
 x=42~2 
 x=21 
<R+>
4 passo: Substitumos o valor de *x* em uma das equaes iniciais e obtemos *y*: 
<R->
<F->
4x+3y=6 
4.21+3y=6 
84+3y=6 
3y=6-84 
3y=-78 
y=-78~3 
y=-26 
<F+>
<p>
  Conferindo a resposta na primeira equao: 
 4x+3y=6 :> 4`(21)+3`(-26)=6 
  :> 84-78=6 (verdadeiro) 
  Conferindo na segunda equao: 
 6x+5y=-4 :> 6`(21)+5`(-26)=
  =-4 :> 126-130=-4 (verda-
  deiro) 

Exerccios 

<R+>
<F->
59. Prepare e resolva os sistemas pelo mtodo da adio: 
a) 2x+5y=20 e 3x+4y=23
b) 7x-3y=-16 e 5x+4y=7

60. Os alunos da classe da Talita plantaro rvores no prximo Dia da rvore. Se cada menina plantar 2 rvores e cada menino plantar 3, sero plantadas 73 rvores. Mas se cada menina plantar 3 rvores e cada menino plantar 2, sero plantadas 77 rvores. Quantas meninas e quantos meninos h na classe? 
<p>
61. No fim de um dia bancrio, havia no caixa de um banco R$3.570,00 em notas de R$10,00 e de R$50,00. O 
  triplo da quantidade de notas de R$10,00 era igual ao dobro da quantidade de notas de R$50,00. Quantas notas havia de cada valor? 
<267>
62. Numa banca de frutas, dona Ftima comprou 2 melancias e 5 abacaxis, pagando no total R$31,00. J dona Claudete, que comprou 3 melancias e 4 abacaxis, gastou R$36,00. Quanto custa cada fruta nessa banca? 

63. Resolva os sistemas. 
a) 8p+7q=4 e 3p-2q=3~2 
b) 2x=1-3y e ?x+y*~2=2x 
<R->
<F+>

Desafio
 
Cada macaco no seu galho 

  Um bando de macacos ocupa uma rvore na floresta. 
<p>
  Se cada macaco ficasse no seu galho, um macaco ficaria sem galho. Se ficassem dois macacos em 
cada galho, sobrariam dois galhos sem macaco. 
  Quantos so os macacos? E os galhos? 

Mtodo da substituio 

  Vamos resolver o sistema x-2y=
 =1 e 3x+7y=29 empregando outra tcnica: o mtodo da substituio. 
<R+>
<F->
1 passo: Escolhemos uma das equaes (a primeira, por exemplo) e isolamos uma das incgnitas (*x*, por exemplo) no primeiro membro: 
x-2y=1 
x=1+2y 
2 passo: Tomamos a outra equao do sistema e substitumos *x* pela expresso que acabamos de obter: 
3x+7y=29 
3.`(1+2y`)+7y=29 
<p>
3 passo: Resolvemos essa equao e encontramos o valor de *y*: 
3.`(1+2y`)+7y=29 
3+6y+7y=29 
13y=26 
y=26~13
y=2
4 passo: Substitumos *y* pelo seu valor na equao x=1+2y e calculamos o valor de *x*: 
x=1+2y 
x=1+2`(2) 
x=1+4
x=5 

_`[{uma menina fala: "Voc sempre pode conferir a resposta. J que no ltimo passo usamos a primeira equao. Que tal conferir na segunda?"_`]

Exerccios 

64. Resolva os sistemas pelo mtodo da substituio. 
a) x+y=11 e 2x-4y=10
b) x-2y=0 e 7x+11y=50
<p>
c) 2x+y=-4 e 3x+6y=-15
d) a~3=b~4 e 3a+4b=20  

65. Resolva os seguintes problemas montando sistemas de equaes. 
a) Os irmos Mrcio e Marcelo ganham juntos R$1.265,00 por ms. Mrcio recebe R$325,00 a mais que Marcelo. Qual  o salrio de cada um? 
b) Eles colaboram com a despesa da casa: Mrcio colabora dando R$160,00 a mais que Marcelo. Alm disso, o dobro da quantia dada por Mrcio  o triplo da que Marcelo d. Com quanto cada um colabora nas despesas? 
<F+>
<R->

Mtodo da comparao 

  Vamos resolver o sistema x+6y=
 =1 e 2x-7y=40, empregando o mtodo da comparao.
<R+>
<F->
<p>
1 passo: Escolhemos uma incgnita (*x*, por exemplo) e a isolamos no primeiro membro em cada equao: 
x+6y=1 
x=1-6y 
2x-7y=40
2x=40+7y
x=?40+7y*~2 
<269>
2 passo: Igualamos as duas expresses obtidas para *x* e resolvemos essa nova equao calculando o valor de *y*: 
1-6y=?40+7y*~2 
2-12y=40+7y 
-12y-7y=40-2 
-19y=38 
19y=-38 
y=-38~19 
y=-2 
3 passo: Substitumos *y* pelo seu valor numa das expresses tiradas para *x* no 1 passo: 
<F+>
<R->
 x=1-6y=1-6`(-2)=1+12=13 
  Podemos conferir, calculando *x* na outra equao:
 x=?40+7y*~2=?40+7`(-2)*~2=
  =?40-14*~2=26~2=13
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
66. Resolva os sistemas a seguir pelo mtodo da comparao. 
a) y=2x-1 e y=-3x+29
b) y=-x-1 e 2x+3y=0 
c) 2x=5y e 7x-6y=46 
d) 3x+6y=8 e 4x+y=13

67. A frao x~y  equivalente a 17~11. Calcule *x* e *y*, sabendo que 2x-3y=6.

68. Resolva os sistemas a seguir pelo mtodo que achar melhor. 
a) 2x+y=1~3 e 3x-y=1~2
b) x+y=-2 e x~2+y~4=2

69. Neste ms, uma montadora produziu 787 carros dos modelos clssico e esporte. A produo do modelo esporte superou em 51 unidades a produo do modelo clssico. Quantos carros de cada tipo foram produzidos? 
<p>
70. Em um supermercado, foram vendidas 228 caixas de duas marcas de sabo em p. O sabo Lava Azul teve o triplo de vendas do que o Lava Verde. Quantas caixas de cada marca foram vendidas? 
<270>

71. Determine: 
a) dois nmeros cuja soma  110 e cuja diferena  30. 
b) uma frao equivalente a 11~7, em que a diferena entre o numerador e o denominador  36. 
c) uma frao equivalente a 3~5, em que a soma de seus termos  152. 

72. Em um stio h cavalos e galinhas. No total, h 97 cabeas e 264 pernas. Quantos so os animais de cada espcie? 
73. Daqui a dez anos, Vlter ter o qudruplo da idade de seu filho Raul; daqui a dezesseis anos, o triplo. Quantos anos Vlter tem hoje? E Raul? 
<p>
74. Invente um problema que possa ser resolvido por um sistema de equaes e depois resolva-o. 
75. Invente um problema que possa ser resolvido pelo sistema a seguir e resolva-o.  
x=y+200 e 4x+5y=3.500 

76. Resolva os sistemas seguintes pelo mtodo que achar mais conveniente. 
a) y=2x-1 e x=7-3y
b) x=7y-3 e x=?11y-5*~13 
c) 47x+19y=6 e 16x-19y=120
d) x~2-3y~4=11 e x~2-
  -5y~4=13
<F+>
<R->

Desafios 

Prefiro guaran 

  Uma fbrica de refrigerantes possui 270 litros de um xarope X e 180 litros de um xarope Y. Cada unidade do refrigerante Ah 
<p>
contm 500 mL de X e 200 mL de Y, e cada unidade do refrigerante Booom contm 300 mL de X e 300 mL de Y. Quantas unidades de Ah e de Booom podem ser produzidas se for usado todo o estoque dos xaropes X e Y? 
<271>

Eleio equilibrada 

  Uma cidade tem 48.100 eleitores inscritos. Na ltima eleio faltaram 5% dos homens e 10% das mulheres e, desse modo, o nmero de votantes masculinos foi exatamente igual ao de votantes femininos. 
<R+>
<F->
a) Quantas pessoas exerceram seu direito de voto? 
b) Quantos homens precisam justificar sua ausncia?
<F+>
<R->
 
Interpretao geomtrica 

  Neste captulo vimos problemas com duas incgnitas, como o que 
<p>
inicia o captulo, no qual queramos saber o nmero de mesas e de cadeiras na festa de Las. Agora vamos estudar o significado geomtrico de uma equao com duas incgnitas. 

Equao linear a duas incgnitas 

  Veja um exemplo: 

<R+>
_`[{um rapaz pergunta para outro: "O triplo de um nmero mais o dobro de outro  igual a 18. Que nmeros satisfazem essa equao?"_`]

 1 passo: Estabelecemos: 
 x= o primeiro nmero; 
 y= o segundo nmero. 
<R->
  E montamos a equao: 
 3x+2y=18 
  Uma equao assim  denominada equao linear a duas incgnitas. 
<p>
  Uma equao linear a duas incgnitas *x* e *y*  toda equao na forma ax+by=c, em que *a*, *b* e *c* so nmeros reais conhecidos. 
<272>

<R+>
2 passo: Trocando *x* por 4 e *y* por 3, temos: 
<R->
 3`(4)+2`(3)=18 
  Que  uma sentena verdadeira. Por isso, dizemos que o par de nmeros (4, 3), em que o primeiro nmero indica o valor de *x* e o segundo indica o valor de *y*,  uma soluo da equao. 
  Observe que o par de nmeros  indicado entre parnteses e os nmeros so separados por ponto e vrgula (ou apenas vrgula, se ficar bem claro quais so os dois 
nmeros do par). Alm disso, o primeiro nmero anotado  o que vai no lugar da primeira incgnita, *x*, e o segundo nmero  o que vai no lugar da segunda incgnita, *y*. Por isso, dizemos que  um par ordenado de nmeros. 
<p>
  Veja outros exemplos: 
<R+>
 O par `(2,#f`)  soluo da equao? 
<R->
  Substituindo *x* por 2 e *y* por 6, temos: 
 3`(2)+2`(6)=18 (verdadeiro) 
  Portanto, `(2,#f`)  outra soluo da equao. 
<R+>
 O par `(6,#b`)  soluo? 
<R->
  Agora substitumos *x* por 6 e *y* por 2: 
 3`(6)+2`(2)=18 (falso) 
  Ento, `(6,#b`) no  soluo da equao. 

<R+>
_`[{um menino pergunta: "Mas quantas solues essa equao possui?"_`]
<R->

  Atribuindo um valor numrico para *x* na equao, ela fica transformada numa equao em *y*. Da, calculando *y*, vamos formar um par que seja soluo da equao inicial. Veja: 
  para x=0: 
 3`(0)+2y=18 :> 2y=18 :> y=9 
<p>
  Portanto, o par `(0,#i`)  soluo da equao. 
 para x=1: 
 3(1)+2y=18 :> 2y=15 
  :> y=15~2 
  O par `(1,#ae~2`)  soluo da equao. 
 para x=10~3:
 3`(10~3`)+2y=18 :> 2y=8 
  :> y=4
  O par `(10~3,#d`) tambm  soluo da equao. 
<273>
  E assim por diante. Como podemos dar a *x* infinitos valores, a equao possui uma infinidade de solues. 

  Soluo de uma equao linear ax+by=c  todo par ordenado de nmeros reais `(^a,^b`) tal que a sentena a^a+b^b=c  verdadeira. Sendo a=0 ou b=0, a equao admite uma infinidade de solues. 
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
77. Quais dos pares ordenados a seguir so solues da equao 3x-2y=1?
`(1,#a`); `(-1,-#a`); `(1~3,#j`); `(0,#a~2`)
78. Forme quatro pares ordenados que sejam solues da equao x+2y=12. 
79. D um exemplo de equao linear a duas incgnitas. Depois, d trs exemplos de pares ordenados que so solues da equao e trs que no so. 
80.  dada a equao linear 3x-4y=''' O segundo membro dessa equao  um nmero. En-
  contre-o, sabendo que o par `(17,-#ad`)  soluo da equao. 

81.  dada a equao -2x+7y=
  =42. Encontre: 
a) o valor satisfatrio de *y* para x=0;  
<p>
b) o valor satisfatrio de *x* para y=0; 
c) trs pares ordenados que so solues dessa equao. 

82. Associe a cada equao o par ordenado que  sua soluo: 
Equao:
a) x+y=9
b) x-y=5
c) 2x+3y=1
d) x-2y=0

Par ordenado:
I- `(4,#b`)
II- `(11,-#b`)
III- `(112,#a2`)
IV- `(5,-#c`)
V- `(0,#a`)

83. O par ordenado `(x,3)  soluo da equao 3x+4y=11. Qual  o valor de *x*? 
84. O par ordenado `(-12,#aa`)  uma soluo da equao linear 2x+3y=''' O segundo membro dessa equao  um nmero. Ache 
<p>
  esse nmero e responda: O par `(21,-#aa`) tambm  soluo dessa equao? 
<F+>
<R->
 
Representao geomtrica de 
  pares ordenados 

  Sabemos que os nmeros reais podem ser representados numa reta: 

<R+>
_`[{nmeros representados numa reta da esquerda para a direita, contedo a seguir_`]
 -2; -1,5; -2; -1; -0,05; 0; 14; 12; 34; 1; 2; 1,5; 2; 5; 3; 3,3; 4.
<R->

  Como fazemos para representar um par ordenado de nmeros reais? 
<274>
  Para responder a essa pergunta, vamos construir um sistema de eixos. Preste ateno: 
<R+>
 Consideramos duas retas perpendiculares *x* e *y*. 
<R->
<p>
  Chamamos de O (origem) a interseo dessas duas retas: 

<F->
  y_
   _
   _
   _
   _
:::w::::::::::::o
 O_            x

<R+>
 O ponto O vai representar o nmero zero, tanto em *x* quanto em *y*, e a partir dele vamos marcar os inteiros, como mostra a figura. 
<R->
  Ateno: Devemos usar a mesma unidade de medida tanto na reta *x* quanto na reta *y* (por exemplo, o centmetro). 
<p>
<F->
             y_
            5w
              _
            4w
              _
            3w
              _
            2w
              _
            1w
::w:::w:::w:::::::w:::w:::w:::>
-3 -2 -1 0_  1  2  3   x
           -1w
              _
           -2w
              _
           -3w
              _
           -4w
              _
           -5w
<F+>
<p>
<R+>
 Dado o par ordenado (2,#e), representamos 2 na reta *x* e 5 na reta *y*: 
<R->

<F->
  y_
 5w
   _
   w
   _
   w
   _
   w
   _
   w
   _
:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::>
 0_      2               x
<F+>
<p>
<R+>
 Pelo ponto 2 traamos a reta y, paralela  reta *y*: 
<R->

<F->
  y_       _y
 5w       _
   _       _
   w       _
   _       _ 
   w       _
   _       _
   w       _
   _       _
   w       _
   _       _
 ::w:::w:::w:::w:::w:::w:::>
 0_       _2             x
<F+>
<275>
<p>
<R+>
 Pelo ponto 5 traamos a reta x, paralela  reta *x*: 
<R->

<F->
  y_
 5_       _y
:::w:::::::w:::::::::::
   _       _         x
   w       _
   _       _ 
   w       _
   _       _
   w       _
   _       _
   w       _
   _       _
:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::>
 0_       _2             x
<F+>

<R+>
 A interseo das retas x e y  o ponto P, que representa o par ordenado `(2,#e`). 
<R->
<p>
<F->
 y_       
  _       { P
,,w,,,,,,,o,,,,,,,,,,
5_       {  
  w       {
  _       { 
  w       {
  _       {
  w       {
  _       {
  w       {
  _       {
::w:::w:::w:::w:::w:::w:::>
0_       _2             x
<F+>

  O primeiro termo do par ordenado, 2,  a abscissa de P. O segundo termo do par ordenado, 5,  a ordenada de P. Os nmeros 2 e 5 so as coordenadas de P. 
  A partir da origem O, duas unidades para a direita e cinco para cima, est o ponto P, que representa o par `(2,#e`). 
<p>
  Agora, no sistema de eixos, que caminho podemos percorrer a partir da origem, se quisermos representar o par ordenado `(-2,-#c`)? 

<F->
              y_
               _      P 
             5w,,,,,,o
               _       _
             4w       _
               _       _
             3w       _
               _       _
             2w       _
               _       _
             1w       _  
:::w:::w:::w:::::::w:::w:::w:::>
 -3 -2 -1 0_  1  2  3   x
       _    -1w
       _       _
       _    -2w
       _       _
      o,,,,-3w
      Q       _
            -4w
               _
            -5w
<F+>
<p>
  Como o primeiro elemento do par (a abscissa)  -2, caminhamos duas unidades para a esquerda e, como o segundo elemento do par (a ordenada)  -3, caminhamos trs unidades para baixo. O ponto a que chegamos, Q, representa o par `(-2,-#c`). 

Exerccios 

<R+>
_`[{para os exerccios 85 a 88, pea orientao ao professor_`]

85. Na figura _`[no representada_`] esto indicados os pontos P, Q, R, S, T, U, V e W. Que par ordenado  representado em cada ponto? 
<276>
<F->
86. Em seu caderno, desenhe uma figura como a do exerccio anterior, e represente nela os seguintes pares ordenados: 
A: `(4,#a`); 
B: `(1,#c`); 
C: `(0,#a`); 
<p>
D: `(-2,#b`); 
E: `(-3,#j`); 
F: `(-2,-#a`); 
G: `(0,-#c`); 
H: `(2,-#b`); 
I: `(3,#j`);
J: `(-3,#a`). 

87. H um carrinho de sorvete em cada um dos pontos de coordenadas `(1,#c`), `(-3,-#c`), `(1,-#c`), `(0,#j`). Represente os pares graficamente e responda: Quem est mais perto de um carrinho de sorvete? 
a) Helena, que est no ponto `(1,#d`), ou Paulo, que est no ponto `(-4,#a`)? 
b) Srgio, que est no ponto `(-2,-#b`), ou Lcia, que est no ponto `(3,#j`)? 

88. A equao linear x+y=3 tem uma infinidade de solues. 
a) Descubra seis ou mais solues da equao linear x+y=3 e represente-as num grfico. 
<p>
b) Se fosse possvel representar todas as solues num grfico, que figura voc acha que formariam? 
<F+>
<R->

Grfico da equao ax+by=c 

  Observe, nas tabelas, alguns dos pares `(x,y`) que so solues da equao 2x+3y=12. 

<R+>
<F->
_`[{tabelas adaptadas_`]
1 tabela:
x=6 e y=0 :> 2.6+3.0=12
x=0 e y=4 :> 2.0+3.4=12
x=1 e y=10~3 :> 2.1+3.
  .10~3=12
x=9 e y=-2 :> 2.9+3.`(-2`)=12
x=-3 e y=6 :> 2.`(-3`)+3.6=12
x=-6 e y=8 :> 2.`(-6`)+3.8=12

2 tabela:
x=3 e y=2 :> 2.3+3.2=12
x=4,5 e y=1 :> 2.4,5+3.1=12
x=8 e y=-4~3 :> 2.8+3.
  .`(-4~3`)=12
<p>
x=-1,8 e y=5,2 :> 2.`(-1,8`)+
  +3.`(5,2`)=12
x=-4,2 e y=6,8 :> 2.`(-4,2`)+3.
  .6,8=12
x=-1,5 e y=5 :> 2.`(-1,5`)+3.
  .5=12
<F+>
<R->

  Vamos representar cada um desses pares por um ponto: 

_`[{grfico no representado_`]
<277>

  Observe que esses pontos esto alinhados, isto , pertencem todos  mesma reta: 

_`[{grfico no representado_`]

  A reta que contm os pontos representativos das solues da equao 2x+3y=12  chamada grfico da equao. Todos os pontos do grfico representam pares ordenados que so solues da equao. 
  Esse fato  verdadeiro para toda equao ax+by=c, com a=0 ou b=0. 
<p>
  O grfico da equao ax+by=c, a=0 ou b=0,  uma reta. Todo ponto dessa reta representa um par ordenado que  soluo da equao. Toda soluo da equao  representada num ponto dessa reta. 

Exerccios 

<R+>
_`[{para os exerccios 89 a 91, pea orientao ao professor_`]

<F->
89. O grfico da equao 3x+
  +4y=12  uma reta. 
a) Para traar uma reta  preciso conhecer quantos de seus pontos? 
b) Construa o grfico da equao. Obtenha dois pontos: o primeiro, substituindo *x* por 0, e o segundo, substituindo *y* por 0. 
<p>
90. Construa a reta que  o grfico da equao x+2y=4. 

91. So dadas as equaes x+y=4 e 2x-y=2. 
a) Desenhe numa mesma figura os grficos dessas equaes. 
b) Quais so as coordenadas do ponto comum aos grficos desenhados? 
<F+>

Sistema de duas equaes lineares a duas incgnitas 
<R->

  Voc j sabe resolver (calcular *x* e *y*), por meio dos mtodos de adio ou substituio, o sistema: 
 x+y=8 e x-y=2 
  A nica soluo para esse sistema  x=5 e y=3, ou seja,  o par (5, 3). 
<278>
  Faamos os grficos das duas equaes numa mesma figura:
<p>
  x+y=8 

<F->
 !::::::::
 l x  _ y  _
 h::::j::::j
 l 8 _ 0 _ :> 8+0=8
 l 0 _ 8 _ :> 0+8=8
 h::::j::::j    Grfico: reta *r*

<F+>
 x-y=2 

 !:::::::::
 l x  _ y   _
 h::::j:::::j
 l 2 _ 0  _ :> 2-0=2
 l 0 _ -2 _ :> 0-`(-2`)=2
 h::::j:::::j    Grfico: reta *s* 


<p>
<F->
 y_
  _
 _
  w `(0,#h`)
  _
  w 
  _  
  w   
  _              s
  w            
  _           
  w          
  _          
  _,,,,,,,,,x P
  _        {
  w        { 
  _        {              
  w        {   
  _        {    
::w:w::w:w:j:w:w:::::::::>
0_   `(2,#j`)            x
  w        `(8,#j`)  r
  _                 
   `(0,-#b`) 
 _
  w
  _
<F+>
<p>
  Verificamos que as duas retas so concorrentes e que o ponto de interseo P tem coordenadas `(5,#c`). Esse par  a soluo desse sistema de equaes. 
  Vimos, portanto, que fazer os grficos das duas equaes  mais um mtodo de resoluo de um sistema de duas equaes lineares a duas incgnitas. 

  Dado um sistema de duas equaes lineares simultneas, a duas incgnitas, chamamos soluo do sistema a todo par ordenado de nmeros reais que seja soluo simultaneamente de ambas as equaes do sistema. Quando as equaes so representadas por duas retas, uma soluo do sistema fica representada num ponto que pertence a ambas as retas. 
<P>
Exerccios 

<R+>
92. Verifique se algum dos pares ordenados `(1,-#c`), `(3,#a`), `(2,#c`)  soluo do sistema 2x+y=7 e 6x-y=9.
 93. De qual dos sistemas a seguir o par (7,-#e)  soluo? 
<R->
 7x+5y=24 e x-y=2; 2x+3y=
  =-1 e 3x+4y=1; x-y=12 e
  2x+y=19.

<R+>
<F->
94. Determine graficamente e d as coordenadas do ponto que representa a soluo dos sistemas: 
a) x+y=11 e x-2y=-1
b) 2x-y=-8 e x+2y=6
c) y=2x+1 e y=-x-5 
<279>

_`[{para os exerccios 95 e 96, pea orientao ao professor_`]

95. Faa o que se pede em cada item. 
a) Represente, numa mesma figura, os grficos das equaes do sistema x+y=5 e 5x-5y=4.
<p>
b) Pelo grfico, podemos descobrir com preciso qual  a soluo do sistema? 
c) Resolva o sistema por um mtodo algbrico (substituio ou adio). 

96. Quais so as coordenadas do ponto de interseo das retas que so os grficos das equaes 3x+4y=12 e 2x-y=4? 
<F+>
<R->

Desafios 

O pai nunca perde... 

  Um pai, querendo incentivar o filho a estudar Matemtica, combina pagar-lhe R$8,00 por problema que ele acertar, mas vai cobrar R$5,00 por problema que ele errar. 
  Depois de 26 problemas, fazem as contas e o filho nada recebe e nada deve. Quantos problemas ele acertou?  

Compra e venda 

  Um comerciante comprou dois carros por um total de R$40.000,00. Vendeu um com lucro de 10% e outro com prejuzo de 5%. No total ele ganhou R$1.450,00. Quais foram os preos de compra? 

<R+>
Sistemas impossveis e sistemas indeterminados 
<R->

  At agora, estudamos sistemas de duas equaes lineares a duas incgnitas que possuam uma nica soluo, isto , que eram satisfeitos por um s par ordenado `(x, y`). Esses sistemas so chamados sistemas determinados. 

  Um sistema de equaes que possui uma nica soluo  um sistema determinado. 

  Agora, observe o sistema: 
 x+y=1 e 3x+3y=2 
<p>
  Multiplicando a primeira equao por 3, obtemos: 
 3x+3y=3 
  Como a segunda equao  3x+
 +3y=2, temos uma impossibilidade: 3x+3y no pode ser simultaneamente igual a 3 e igual a 2. 
  Aplicando o mtodo da adio, tambm chegamos a uma impossibilidade. Veja: 
<F->
x+y=1 
3x+3y=2

-3x-3y=-3 
+ 3x+3y=2
-------------
 0x+0y=-1  (impossvel)
<F+>
<280>

  Representando graficamente as duas equaes: 
<p>
 x+y=1 :> reta *r*

 !::::::::
 l x  _ y  _
 h::::j::::j
 l 0 _ 1 _
 l 1 _ 0 _
 h::::j::::j

 3x+3y=2 :> reta *s* 

 !::::::::::::::::
 l   x    _   y    _
 h::::::::j::::::::j
 l 0     _ #;c    _
 l #;c    _ 0     _
 h::::::::j::::::::j
<p>
<F->
         y_
         _
  `(0,#a`) 
          _
          _ 
          _     
          _     
          _      
          _      
          _      
          _       
         _                 
 `(0,#;c`)          
          _                          
          _          
          _            `(1,#j`)
::::::::::w::::::::::::::::::::>
        0_    `(#;c,#j`)        x
          _              
          _       s        r
<F+> 

  Obtemos duas retas paralelas. Elas no tm ponto comum. 
  Portanto, o sistema no tem soluo.  chamado sistema impossvel. 
<p>
  Um sistema de equaes que no tem soluo  um sistema impossvel. 

  J no sistema: 
 3x+2y=6 e x~2+y~3=1
  Multiplicando a segunda equao por 6, obtemos: 
 6.x~2+6.y~3=6.1
 3x+2y=6 
  Que  exatamente igual  primeira equao. 
  Assim, todo par ordenado de nmeros reais que  soluo da primeira equao tambm ser soluo da segunda equao. 
  Os grficos das duas equaes so retas coincidentes, isto , as duas equaes so representadas pela mesma reta. Veja: 
 3x+2y=6 :> reta *r* 

 !::::::::
 l x  _ y  _
 h::::j::::j
 l 0 _ 3 _
 l 2 _ 0 _
 h::::j::::j
<p>
 x~2+y~3=1 :> reta *s*

 !::::::::
 l x  _ y  _
 h::::j::::j
 l 0 _ 3 _
 l 2 _ 0 _
 h::::j::::j

<F->
 y_
  _    
 _                
  w `(0,#c`)
  _                         
  w               
  _   `(2,#j`)
::w:w::w:w:::>
0_          x
  w      r=s     
  _      
<F+>

  Nesse caso, o sistema tem infinitas solues. 
<281>
  Aplicando o mtodo da adio: 
 3x+2y=6 e x~2+y~3=1
  Multipicando a 2 equao por `(-6`):
<p>
 3x+2y=6+`(-3x+2y=-6`)=0x+
  +0y=0  
<F->
  Chegamos a uma equao indeterminada. Dizemos que o sistema  indeterminado. 

  Um sistema de equaes que tem infinitas solues  um sistema indeterminado. 

  Num sistema de duas equaes a duas incgnitas, se uma equao pode ser obtida multiplicando a outra por um nmero diferente de zero, ento, o sistema  indeterminado. Veja outro exemplo: 

<R+>
_`[{um jovem fala: "Faa o grfico e comprove!"_`]
<R->

2x+y=4 e 10x+5y=20 
   um sistema indeterminado porque a segunda equao  igual  primeira multiplicada por 5. 
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
97. Represente graficamente as equaes e classifique cada sistema em determinado, indeterminado ou impossvel.
a) y=x-7 e x=y+3
b) y=2x+2 e x=2y+2
c) y=x+2 e x=y-2

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

98. Resolva o sistema 3x+4y=
  =12 e x~4+y~3=1~2.

99. Considere o sistema x+2y=8 e 2x+4y='''
a) Que nmero voc deve usar no lugar dos pontinhos para que o sistema fique indeterminado?
b) Sendo indeterminado, o sistema tem infinitas solues. Apresente quatro solues e represente-as num grfico.
<p>
c) Se os pontinhos forem trocados por 10, quantas solues ter o sistema? Nesse caso, qual  a posio relativa das duas retas que representam as equaes?

100. Quantas solues tem cada sistema a seguir?
a) 2x+3y=6 e 4x+5y=10
b) 2x+3y=6 e 4x+6y=10
c) 2x+3y=6 e 4x+6y=12
d) 2x+3y=5 e 2y+3x=5
<282>

101. Classifique os sistemas a seguir:
2x+3y=x+y+7 e 1+2y=3-x; 5x=
  =1-3y e 2x+4y=y-3x; 7x-y=
  =y-x-7 e 2y-5x-3=3x+4.

102. Em quais dos sistemas temos duas retas paralelas? 
x~2+y=2 e 2x+4y=4; y=5x+1 
  e y=5x-1; x=2y+1 e y=2x+1.
<F+>
<R->
<p>
Teste seu conhecimento 

<R+>
<F->
1. A raiz da equao 2x-64=
  =0 :
a) 4 
b) -4 
c) 8 
d) -8 

2. A soluo da equao x~120=
  =3~5+5~6-1~2  um nmero:
a) primo. 
b) mltiplo de 5. 
c) mltiplo de 7.
d) mltiplo de 11.

3. As equaes 10x-1=0 e 2mx-m+12=0 tero a mesma raiz se o valor de *m* for: 
a) 5 
b) 15 
c) 25 
d) -5 
<p>
4. Se colocarmos 24 L de gasolina no tanque de um carro, enchemos #g do tanque. Para completar o tanque  preciso colocar mais: 
a) 6 L 
b) 8 L  
c) 12 L 
d) 18 L 

5. Talita tem 6 anos e sua me tem 32. Daqui a *n* anos, Talita ter um tero da idade da me. O nmero *n* :
a) par. 
b) primo. 
c) menor que 6. 
d) maior que 32. 

6. Se gastar metade do que tenho e mais R$2,00, ficarei com 40% do meu dinheiro. Se no gastar nada, ficarei com: 
a) R$20,00 
b) R$15,00 
c) R$12,00 
d) R$10,00 
<p>
7. Resolvendo `(mx-1`)-2`(x-m`)=
  =3m-1, na incgnita *x*, encontramos: 
a) x=m~?m-2*, se m=2
b) x=m~?m+2*, se m=-2 
c) x=0, se m=2
d) x=2~?m-3*, se m=3 

8. A equao `(a-1`)x-1=0 : 
a) impossvel, se a=0. 
b) indeterminada, se a=1. 
c) indeterminada, se a=-1. 
d) impossvel, se a=1. 

9. A raiz de ?x-2*~?x-1*+
  +?x-1*~x=2  um nmero:
a) negativo. 
b) compreendido entre 0 e 1. 
c) mpar. 
d) maior que 2. 

10. Numa eleio, dois candidatos tiveram no total 140.135 
  votos. O vencedor teve 4.105 
<p>
  votos a mais que o perdedor. Quantos votos teve o vencedor? 
a) 68.015 
b) 70.825 
c) 72.120 
d) 74.030 
<283>

11. (UF-MG) Uma conta de R$140,00  paga em cdulas de R$5,00 e R$10,00, num total 
  de 18 cdulas. O nmero *n* de cdulas de R$5,00 usadas para o pagamento dessa conta  tal que: 
a) n<5 
b) 5<=n<7 
c) 7<n<10 
d) n>10 

12. (UF-PE) Se o numerador de uma frao  acrescido de uma unidade, o valor da frao resultante  #;c. Se ambos, numerador e denominador, so acrescidos de 5 unidades, o valor da 
  frao resultante  #=aj. Indi-
<p>
  que o produto do numerador pelo denominador da frao original. 
a) 64 
b) 65 
c) 125 
d) 135 

13. (PUC-PR) Numa diviso o quociente  3 e o resto 6. A soma do dividendo, do divi-
  sor, do quociente e do resto  107. Qual a diferena entre o dividendo e o divisor? 
a) 23 
b) 75 
c) 52 
d) 58 

14. (PUC-MG) Um cofre contm *x* moedas de R$1,00, *y* moedas de R$0,50 e 12 moedas de R$0,25, totalizando R$22,00. Se x+2y=49, o valor de *x* :
a) 5 
b) 7 
<p>
c) 9 
d) 12 

15. (ESPM-SP) Se Nicolau der R$40,00 para Eurico, este passar a ter o dobro de Nicolau; porm, se Eurico der R$10,00 para Nicolau, ocorre-
  r o contrrio, Nicolau passar a ter o dobro de Eurico. Juntos eles possuem:
a) R$120,00 
b) R$130,00 
c) R$140,00 
d) R$150,00 

16. Desenhando em um grfico as retas de equaes y=2+x e y=2-x, verificamos que elas: 
a) so paralelas. 
b) so concorrentes num ponto do eixo *y*. 
c) so concorrentes num ponto do eixo *x*. 
d) so coincidentes. 
<F+>
<R->
<p>
Desafio 

A unio faz a produo 

  Um funcionrio, trabalhando sozinho, executa uma tarefa em 7 horas e meia. Outro, mais experiente, leva 6 horas. 
  Trabalhando juntos, em quanto tempo a tarefa  completada? 
<284>

Matemtica em notcia  

Visitas ao Cristo aumentam 20% 

  Eleio como uma das 7 novas maravilhas do mundo e melhorias estruturais atraem cada vez mais turistas. 
  O Cristo Redentor recebe cada vez mais turistas desde que foi declarado uma das sete novas maravilhas do mundo, em julho de 2007. De l para c, a visitao cresceu 20% -- 80 mil pessoas 
<p>
por ms. Se a incluso no grupo seleto de monumentos (do qual fazem parte o Taj Mahal e o 
 Coliseu) chamou a ateno dos estrangeiros para a esttua, a melhoria do acesso ao topo do Corcovado vem estimulando visitantes de outros Estados e mesmo cariocas a ver de perto o que s conhe-
 cem de carto-postal ou pela televiso. 
  Para a subida foi criada uma linha de vans. O preo passou de R$5,00 para R$13,00 por pessoa, o que motivou reclamaes, mas o clima de bandalheira na estao do Cosme Velho, que assustava os turistas, diminuiu muito. A viagem de 20 minutos no trenzinho do Corcovado, meio mais tradicional e agradvel, custa R$36,00. 
  O Cristo recebe cerca de 1 milho de visitantes por ano. Em 
2007, 480 mil subiram pelo tren-
<p>
zinho; em 2008, somente entre janeiro e junho, so 360 mil. 

<R+>
(*O Estado de S. Paulo*, 20/7/2008.) 
<R->
  
  Leia os dados dessa reportagem e responda: 
<R+>
<F->
a) Em mdia, quantas pessoas subiram pelo trenzinho em cada ms de 2007? E quantas por ms em 
  2008? Qual o aumento porcentual da utilizao do trenzinho?  
b) A subida pela van custa R$13,00 e pelo trenzinho, R$36,00. Se um grupo de 20 amigos gastou R$536,00 para fazer a subida, quantos foram de van? E de trenzinho?  
c) Pesquise: quais so as novas 7 maravilhas do mundo, eleitas em 2007? E quais eram antigamente as 7 maravilhas do mundo? 
<F+>
<R->
<285>
<p>
Matemtica no tempo

Coordenadas cartesianas 

  A palavra *cartesiano* deriva de Cartesius -- verso para o latim do sobrenome francs 
de Ren Descartes (1596-1650), um dos maiores sbios de todos os tempos. De fato, Descartes 
foi o primeiro grande filsofo moderno, o fundador da Biologia, um fsico de 
primeira linha, alm de ter contribudo amplamente para a modernizao da Matemtica. 
  Isso ajuda a explicar por que o adjetivo cartesiano, na linguagem corrente e numa 
conotao filosfica, significa esprito metdico e racional. J a expresso eixo cartesiano 
tem conotao matemtica: designa uma reta cujos pontos representam, ordenadamente, 
os nmeros reais. 
  Descartes foi uma criana de sade frgil, mas dotada de um in-
<p>
teresse por aprender acima do normal. Por isso, seu pai o chamava de "pequeno filsofo". Assim, em 1606, talvez 
impressionado com a capacidade intelectual do filho, matriculou-o como interno numa 
escola jesuta de alto nvel, na cidade de Anjou. Nessa instituio, por sua capacidade intelectual 
e delicada sade, gozava de alguns privilgios especiais: tinha seu prprio quarto, 
podia ler livros vedados aos colegas e ficar at mais tarde na cama de manh. Esse ltimo 
privilgio, em vez de desenvolver nele a indolncia, fez com que adquirisse o hbito de 
meditar enquanto deitado, o que muito o ajudaria no futuro. 
  Quando deixou o internato, Descartes foi cursar Direito na cidade de Poitiers. Graduou-se aos 20 anos de idade; no entanto, no revelava grande envolvimento com a rea. Em 1617, dirigiu-se 
<p>
para a Holanda, onde ingressou como voluntrio no exrcito do prncipe Maurcio de Nassau -- o mesmo que participou das invases holandesas no Brasil. 
  Nesse mesmo ano, na cidade de Breda, viu um cartaz com um problema de Geometria, proposto como desafio, afixado numa rvore da praa principal da cidade (na poca isso era relativamente comum). Por ainda no conhecer bem a lngua holandesa, pediu, em latim, a uma pessoa que o ajudasse a entender o enunciado. Foi assim que Descartes conheceu Isaac Beeckman, que viria se tornar seu primeiro professor de Matemtica. Conta-se que este ficou impressionado com o fato de Descartes ter resolvido aquele problema em poucas horas. 
  Descartes continuou na vida militar e, na noite de 10 de novembro de 1619, com seu regimento acampado na pequena cidade de 
<p>
Ulm, na Baviera, teve trs sonhos que mudariam sua vida. No se sabe exatamente quais foram esses sonhos, mas ele os interpretou como um sinal da inutilidade da vida que levava e de que lhe estava reservada a misso de unificar a cincia. Como, na busca da certeza, nada lhe parecia mais confivel do que o mtodo da Matemtica, escolheu essa cincia e a lgica como pilares para desempenhar sua misso. 
  Em 1621, desiludido com as guerras, abandonou a carreira militar e, em seguida, fez diversas viagens pela Europa, sem jamais interromper seus estudos de Matemtica. Em 1625, voltou a Paris e, empolgado com o poder dos telescpios, dedicou-se a construir instrumentos pticos. Trs anos mais tarde, fixou-se na Holanda para usufruir de maior liberdade intelectual. Durante os vinte 
<p>
anos que morou naquele pas produziu suas grandes obras cientficas. Em 1649 aceitou o convite da rainha Cristina, da Sucia, para ser seu professor. Alguns meses depois de ter se mudado para l, contraiu uma pneumonia que o levou  morte. 
<286>
  A obra mais conhecida de Ren Descartes  *Discurso do mtodo para bem conduzir a razo na busca da verdade* -- resumidamente conhecida como *Discurso do mtodo* --, o primeiro grande trabalho de filosofia moderna. A obra  composta de trs apndices, um dos quais -- intitulado *A geometria* -- colaborou decisivamente para a mo-
dernizao da Matemtica, porque introduz os fundamentos da *Geometria Analtica*. 
  E o que vem a ser Geometria Analtica? Em resumo, trata-se de um mtodo que funde convenientemente a Geometria clssica com a lgebra literal, permitindo 
<p>
representar uma reta, uma curva ou uma superfcie por uma equao algbrica, envolvendo as coordenadas de um ponto genrico da figura. Por exemplo, como voc j viu nesta unidade, uma equao do tipo ax+by+c=0 (em que a=0 ou b=0) representa uma reta. 
  Os crculos e as elipses (por exemplo, as rbitas dos planetas em torno do Sol) tambm tm equaes relativamente simples. Em geral,  muito mais simples e produtivo estudar uma curva ou superfcie por meio de sua equao do que por meio da Geometria pura. 
  
Explorando a leitura 

<R+>
<F->
1. O fato de Descartes poder ficar na cama at mais tarde no colgio de Anjou contribuiu positivamente para sua formao intelectual. Como? 
<p>
2. Descartes tinha uma capacidade intelectual muito grande e era catlico. No entanto, engajou-se no exrcito do prncipe holands Maurcio de Nassau, que, como defensor dos protestantes, estava reunindo homens para as guerras religiosas da poca. Como explicar essa aparente contradio? 
3. Pesquise: o que teria levado Descartes a se fixar na Holanda, em 1628? 
4. Um dos princpios bsicos da filosofia de Descartes : 
  "cogito ergo sum" (expresso em latim). Qual  a traduo desse pensamento para o portugus? 
5. Independentemente, o matemtico francs Pierre de Fermat (1601-1665) tambm criou, de forma um pouco diferente, a Geometria Analtica. Enquanto para Descartes, a Matemtica no tinha sentido desvinculada 
<p>
  da natureza, Fermat cultivava essa cincia sem se preocupar com possveis aplicaes. Na sua opinio, qual dessas duas posturas  mais correta? 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Sexta Parte


